Родился в небогатой дворянской семье с древними корнями, восходящими к Франции. Детство прошло в родовом имении отца - деревне Павлодар. По мироощущению близок М. Ю. Лермонтову. Был весьма мнителен, легко раним, "поэт милостью божией", вместе с тем имел репутацию шутника, остроумного и блестящего импровизатора. Его монологи в стихах, романсы, альбомные посвящения, пародии, эпиграммы и экспромты входили в репертуар модных чтецов-декламаторов. Некоторые произведения Алексея Николаевича положены на музыку П. И. Чайковским ("Ночи безумные" и др.), А. С. Аренским ("Разбитая ваза").
В 1859 году окончил Училище правоведения, где подружился с П. И. Чайковским. В Училище Апухтин был самым блестящим учеником в классе и имел только отличные оценки по всем предметам, также был одним из редакторов журнала "Училищный вестник". По окончании Училища служил в министерстве юстиции (в одном департаменте с Чайковским), службой не увлекался, вёл жизнь "золотой молодёжи"; в 1862 году Апухтин, Чайковский и ряд других правоведов попали в сексуальный скандал в ресторане "Шотан" и были "ославлены на весь город". С 1862 года жил в родовом имении в Орловской губернии; в 1863-1865 годах числился старшим чиновником особых поручений при губернаторе; затем в Петербурге числился чиновником министерства внутренних дел. По служебным надобностям несколько раз выезжал за границу. Уже в 1870-х годах у него началось болезненное ожирение, которое в последние десять лет его жизни приняло колоссальные размеры. За два года до смерти Апухтин заболел также водянкой. Конец жизни он провёл практически дома, с трудом двигаясь.